Question

35、已知如图AD为△ABC上的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF=AC，FD=CD．
求证：（1）△ADC≌△BDF；
（2）BE⊥AC．

Answer 1

分析：（1）因为AD为△ABC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°，又因为BF=AC，FD=CD，则可根据HL判定△ADC≌△BDF；
（2）因为△ADC≌△BDF，则有∠EBC=∠DAC，又因为∠DAC+∠ACD=90°，所以∠EBC+∠ACD=90°，则BE⊥AC．

解答：证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵BF=AC，FD=CD，
∴△ADC≌△BDF（HL）．

（2）∵△ADC≌△BDF，
∴∠EBC=∠DAC．
又∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠EBC+∠ACD=90°．
∴BE⊥AC．

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．发现并利用两个直角三角形全等是正确解决本题的关键．