Question

10．如图，已知在△ABC中，P为边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，N为AP的中点，连接MN．若∠ACP=∠ABD．
（1）求证：AC•MN=BN•AP；
（2）若AB=3，AC=2，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）先根据M为CP的中点，N为AP的中点，得到MN是△ACP的中位线，得出NM∥AC，∠A=∠BNM，再根据∠ACP=∠ABD，判定△ACP∽△NBM，即可得出结论；
（2）先根据小三角形中位线定理，得到MN=$\frac{1}{2}$AC=1，再设AN=x，则AP=2x，根据AC•MN=BN•AP，得出方程2×1=（3-x）×2x，求得x的值，即可得到AP的长．

解答 解：（1）∵M为CP的中点，N为AP的中点，
∴MN是△ACP的中位线，
∴NM∥AC，MN=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠A=∠BNM，
又∵∠ACP=∠ABD，
∴△ACP∽△NBM，
∴$\frac{AC}{NB}$=$\frac{AP}{NM}$，
∴AC•MN=BN•AP；

（2）∵AC=2，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC=1，
设AN=x，则AP=2x，
∵AC•MN=BN•AP，
∴2×1=（3-x）×2x，
解得x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴AP=3+$\sqrt{5}$（舍去），AP=3-$\sqrt{5}$，
∴AP的长3-$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了相似三角形才判定与性质以及一元二次方程的运用，解决问题的关键是掌握：有两组角对应相等的两个三角形相似．