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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于F点,连接PF.
(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π)
(2)求证:OD=OE;
(3)求证:PF是⊙O的切线.

【答案】
(1)解:∵AC=12,

∴CO=6,

= =2π;

答:劣弧PC的长为:2π


(2)证明:∵PE⊥AC,OD⊥AB,

∠PEA=90°,∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中,

∴△POE≌△AOD(AAS),

∴OD=EO


(3)证明:

法一:

如图,连接AP,PC,

∵OA=OP,

∴∠OAP=∠OPA,

由(2)得OD=EO,

∴∠ODE=∠OED,

又∵∠AOP=∠EOD,

∴∠OPA=∠ODE,

∴AP∥DF,

∵AC是直径,

∴∠APC=90°,

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF,

又∵DP∥BF,

∴∠ODE=∠EFC,

∵∠OED=∠CEF,

∴∠CEF=∠EFC,

∴CE=CF,

∴PC为EF的中垂线,

∴∠EPQ=∠QPF,

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP,

∴∠QPF=∠EAP,

∴∠QPF=∠OPA,

∵∠OPA+∠OPC=90°,

∴∠QPF+∠OPC=90°,

∴OP⊥PF,

∴PF是⊙O的切线.

法二:

设⊙O的半径为r.

∵OD⊥AB,∠ABC=90°,

∴OD∥BF,∴△ODE∽△CFE

又∵OD=OE,∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣ BC

∴BF=BC+FC=r+ BC

∵PD=r+OD=r+ BC

∴PD=BF

又∵PD∥BF,且∠DBF=90°,

∴四边形DBFP是矩形

∴∠OPF=90°

OP⊥PF,

∴PF是⊙O的切线.


【解析】(1)根据弧长计算公式l= 进行计算即可;(2)证明△POE≌△ADO可得DO=EO;(3)连接AP,PC,证出PC为EF的中垂线,再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解.
【考点精析】利用切线的判定定理和弧长计算公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;若设⊙O半径为R,n°的圆心角所对的弧长为l,则l=nπr/180;注意:在应用弧长公式进行计算时,要注意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的.

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