Question

6．如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（8，0），动点P从点A出发在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B出发在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，其中一点到达终点时另一点也随之停止，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）在移动的过程中，探究以A，P，Q为顶点的三角形能否与△AOB相似，若能求出t的值，若不能说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）分△APQ∽△AOB和△APQ∽△AOB两种情况，根据相似三角形的性质定理、结合图形计算即可．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（2）∵点A（0，6）、B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
根据题意得：AP=t，AQ=10-2t；
有两种不同的对应：
①△APQ∽△AOB时，$\frac{AP}{AO}=\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{t}{6}=\frac{10-2t}{10}$，
解得：t=$\frac{30}{11}$；
②△AQP∽△AOB，$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AO}$，
即$\frac{t}{10}=\frac{10-2t}{6}$，
解得：t=$\frac{50}{13}$；
综上所述：以A，P，Q为顶点的三角形能与△AOB相似，t的值为$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了一次函数的应用、相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的关系；掌握待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．