Question

如图，以等腰三角形ABC的腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D，交腰AC于点 G，过D点作DE上AC于点E．
（1）试确定直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=2，AC=5，求CG的长．

Answer 1

考点：切线的判定,等腰三角形的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）连接OD，AD，根据圆周角定理由AB为直径得∠ADB=90°，而AB=AC，根据等腰三角形的性质得BD=CD，于是可判断OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，根据平行线的性质有OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到DE与⊙O相切；
（2）连结BG，根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠AGB=90°，由CD=2得BC=2CD=4，然后证明Rt△ADC∽Rt△BCG，利用相似比可计算出CG．

解答：解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：
连接OD，AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

（2）连结BG，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=90°，
∵CD=2，
∴BC=2CD=4，
∵∠ACD=∠BCG，
∴Rt△ADC∽Rt△BCG，
∴

CD

CG

=

AC

BC

，即

2

CG

=

5

4

∴CG=

8

5

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．