如图.等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上.且点A与原点O重合.点B坐标为(82.0).点D坐标为(32.32).点E为AB边上一动点.以每秒2个单位的速度由A向B运动.运动时间为t.将射线ED绕E点顺时针旋转45°交BC于F点．(1)求经过A.C.D三点的抛物线,(2)求出线段BF的最大值,(3)若△ADE为等腰三角形.求t值,(4)在直线BC上取一点P.求DE+EP的最小值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，且点A与原点O重合，点B坐标为（8

，0），点D坐标为（3

，3

），点E为AB边上一动点，以每秒

个单位的速度由A向B运动，运动时间为t，将射线ED绕E点顺时针旋转45°交BC于F点．

（1）求经过A、C、D三点的抛物线；
（2）求出线段BF的最大值；
（3）若△ADE为等腰三角形，求t值；
（4）在直线BC上取一点P，求DE+EP的最小值．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）过D作DD′⊥AB于D′，过C作CC′⊥AB于C′，可得C点坐标为（5

，0），运用待定系数法求得过A、C、D三点的抛物线；
（2）根据相似三角形的判定可得△ADE∽△BEF，根据相似三角形的性质可得

，设BF=y，可得y=-

(t-4)2+

，从而得到线段BF的最大值；
（3）分三种情况：①当ED=EA时（如点E1）；②当AD=AE时（如点E₂）；③当DA=DE时（如点E₃）；讨论可得△ADE是等腰三角形时t的值；
（4）作点D关于x轴的对称点D′，过D′作D′P⊥CB于P，连接D′P交OB于点E，由轴对称知DE+EP=D′E+EP=D′P，由垂线段最短知此时D′P最短，则DE+EP也最小．

解答：

解：（1）如图1，过D作DD′⊥AB于D′，过C作CC′⊥AB于C′，
可求得BC′=OD′=3

，CC′=DD′=3

，D′C′=DC=2

，
则C点坐标为（5

，0），
运用待定系数法求得过A、C、D三点的抛物线为y=-

x2+

x

（2）如图2，计算知∠CBA=∠DAB=∠DEF=45°，∠1+∠2=135°，∠2+∠3=135°，
所以∠1=∠3，△ADE∽△BEF，
则

，
设BF=y，即有

，
化简得：y=-

t2+

t，
配方得y=-

(t-4)2+

，
当t=4时，y有最大值且为

，即BF最大为

（3）如图3由上图计算知AD=

AD′=6，∠BAD=45°；
①当ED=EA时（如点E1），则∠E₁AD=∠E₁DA=45°，DE₁⊥AB，则E₁与上图中的D′重合，故OE₁=3

，t=3

=3；
②当AD=AE时（如点E₂），则AE₂=AD=6，t=6÷

；
③当DA=DE时（如点E₃），由“三线合一”得AE₃=2AE₁=6

=6
综上所述，当t=3，3

，6时，△ADE是等腰三角形．

（4）如图4，作点D关于x轴的对称点D′，过D′作D′P⊥CB于P，连接D′P交OB于点E，
由轴对称知DE+EP=D′E+EP=D′P，
由垂线段最短知此时D′P最短，则DE+EP也最小．
由∠CBO=45°，可推导D′E=

D′F=

DF=

•3

=6，BE=BF-FG=2

，EP=

=2，
所以D′P=8，即DE+EP最小值为8．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，相似三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，分类思想，由轴对称的性质，垂线段最短，综合性较强，有一定的难度．

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