Question

在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．反比例函数y=

k

x

的图象分别交边AB、BC于D、E，交对角线OB于F．

（1）如图甲，顶点B的坐标为（4，3），若点F是OB的中点，则k=

 

，

BD

BE

=

 

．
（2）如图乙，点B的坐标为（m，n），
①试探寻线段BD与BE的长度关系，并说明理由；
②设直线DE分别与x轴、y轴交与点G、H，试探寻线段DG与EH的长度关系，并说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据顶点B的坐标和点F是OB的中点，得出点F的坐标，再根据点F在反比例函数y=

k

x

的图象上，求出反比例函数的解析式，从而求出BD、BE的长，再代入计算即可得出答案．
（2）①根据点B的坐标为（m，n），表示出点D的坐标和点E的坐标，从而得出AD=

k

m

，EC=

k

n

，再根据BD=AB-AD和BE=BC-CE，求出

BD

BE

，即可得出答案；
②根据

DG

DE

=

AD

BD

=

k

mn-k

和

HE

DE

=

CE

DE

=

k

mn-k

，即可得出DG=HE．

解答：解：（1）∵顶点B的坐标为（4，3），点F是OB的中点，
∴点F的坐标为：（2，

3

2

），
∵点F在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴k=xy=2×

3

2

=3，
∴当x=4时，y=

3

4

，
即AD=

3

4

，
∴BD=AB-AD=3-

3

4

=

9

4

，
当y=3时，x=

3

3 2

=2，
∴CE=2，
∴BE=BC-CE=4-2=2，
∴

BD

BE

=

9

8

；
故答案为：3；

9

8

；

（2）①∵点B的坐标为（m，n），
∴点D的坐标是（m，

k

m

），点E的坐标是（

k

n

，n），
∴AD=

k

m

，EC=

k

n

，
∴BD=AB-AD=n-

k

m

，BE=BC-CE=m-

k

n

，
∴

BD

BE

=

n- k m

m- k n

=

mn2-nk

m2n-mk

，
②∵

DG

DE

=

AD

BD

=

k m

n- k m

=

k

mn-k

，

HE

DE

=

CE

DE

=

k n

m- k n

=

k

mn-k

，
∴

DG

DE

=

HE

DE

，
∴DG=HE．

点评：此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，关键是用m、n、k表示出线段的长度．