Question

10．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，点P是线段AB上的一动点（包括点A，B），且点P的坐标为（a，4）．
（1）求直线AC的函数解析式；
（2）连接BM，PM，设△PMB的面积为S（S≠0），求S与a之间的函数关系式（要求写出自变量a的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△BPM是以BM为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A点坐标可求得AO的长，由菱形的性质则可求得OC的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（2）由菱形的性质可求得AB的长，则可求得B点坐标，可用a表示出BP的长，又由直线AC解析式可求得M点坐标，可求得MH的长，则可用a表示出S，由点P在线段AB上可写出a的取值范围；
（3）由P点坐标，可表示出BP和MP，由M、B的坐标可求得BM的长，由条件可得BM=BP或BM=PM，则可得到关于a的方程，可求得a的值，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵A（-3，4），
∴AO=$\sqrt{（-3）^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵四边形ABCO为菱形，
∴CO=AB=5，
∴C（5，0），
设直线AC解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（2）∵AB∥OC，
∴可设B（x，4），
∵AB=5，
∴x-（-3）=5，解得x=2，
∴B点坐标为（2，4），
∵P（a，4），
∴BP=2-a，
在y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$中，令x=0可得y=$\frac{5}{2}$，
∴M（0，$\frac{5}{2}$），且OH=4，
∴MH=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$BP•MH=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$（2-a）=-$\frac{3}{4}$a+$\frac{3}{2}$，
∵点P在线段AB上，
∴-3≤a≤2；
（3）∵P（a，4），M（0，$\frac{5}{2}$），B（2，4），
∴BP=2-a，MP=$\sqrt{{a}^{2}+（4-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{9}{4}}$，BM=$\sqrt{{2}^{2}+（4-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$=$\frac{5}{2}$，
若△BPM是以BM为腰的等腰三角形，则有BM=BP或BM=MP，
当BM=BP时，即2-a=$\frac{5}{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$，则P点坐标为（-$\frac{1}{2}$，4），
当BM=MP时，即$\sqrt{{a}^{2}+\frac{9}{4}}$=$\frac{5}{2}$，解得a=2或a=-2，而当a=2时，B、P两点重合，不合题意，舍去，
∴a=-2，此时P点坐标为（-2，4）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（-$\frac{1}{2}$，4）或（-2，4）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、勾股定理、三角形的面积、等腰三角形的性质、分类讨论思想及方程思想．在（1）中，注意利用菱形的性质求得OC的长是解题的关键，在（2）中分别求得BP和MH是解题的关键，在（3）中用a分别表示出BP、MP是解题的关键，注意分两种情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．