Question

5．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）
（1）当B（-4，0）时，求抛物线的解析式；
（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP=3时，求此抛物线的解析式；
（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心，$\frac{1}{2}$OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可确定出函数解析式；
（2）用tan∠OAP=3建立一个b，c的关系，再结合点A得出的等式即可求出b，c进而得出函数关系式；
（3）用两圆外切，半径之和等于AC建立方程结合点A代入建立的方程即可得出抛物线解析式．

解答 解：（1）把点A（2，0）、B（-4，0）的坐标代入y=-x²+2bx+c得，$\left\{\begin{array}{l}{-4+4b+c=0}\\{-16-8b+c=0}\end{array}\right.$，
∴b=-1．c=8，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+8；
（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，把点A（2，0）的坐标代入y=-x²+2bx+c得，
-4+4b+c=0①，
∵抛物线的顶点为P，
∴y=-x²+2bx+c=-（x-b）²+b²+c，
∴P（b，b²+c），
∴PH=b²+c，AH=2-b，
在Rt△PHA中，tan∠OAP=$\frac{PH}{AH}=3$，
∴$\frac{{b}^{2}+c}{2-b}$=3②，
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{-4+4b+c=0}\\{\frac{{b}^{2}+c}{2-b}=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-4}\end{array}\right.$（不符合题意，舍）或$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+8；
（3）∵如图2，抛物线y=-x²+2bx+c与y轴正半轴交于点C，
∴C（0，c）（c＞0），
∴$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$c，
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴AC=$\sqrt{{c}^{2}+4}$，
∵⊙A与⊙C外切，
∴AC=$\frac{1}{2}$c+2=$\sqrt{{c}^{2}+4}$，
∴c=0（舍）或c=$\frac{8}{3}$，
把点A（2，0）的坐标代入y=-x²+2bx+c得，-4+4b+c=0，
∴b=$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，两圆外切的性质等知识点；（2）中用tan∠OAP=3建立方程和（3）中两圆的半径之和等于AC建立方程是解答关键．