Question

6．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，D在坐标轴上，且点A的坐标为（-4，0），∠OAD=60°．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，点B为线段AD的中点，连接OB，以O为旋转中心，将△OAB沿顺时针方向旋转得到△OCB，试确定旋转角度并判断四边形OABC的形状；
（3）过点D有一条直线平分四边形OABC的面积，试求出这条直线的表达式．

Answer 1

分析 （1）通过解直角三角形OAD得到线段OD的长度，易得点D的坐标；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的判定定理易得△OAB为等边三角形，则根据旋转的性质得到△OAB与△OCB全等，易得旋转角为60°，四边形OABC为菱形；
（3）平分四边形OABC的面积的直线一定经过其中心，所以利用待定系数法来求该直线的表达式．

解答 解：（1）如图1，∵点A的坐标为（-4，0），
∴OA=4．
又∵∠OAD=60°，
∴OD=OA•tan60°=4$\sqrt{3}$，
则D（0，4$\sqrt{3}$）；

（2）旋转角为60°，且四边形OABC为菱形．理由如下：
如图2，∵点B为线段AD的中点，
∴OB=AB．
又∵∠OAD=60°，即∠OAB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵将△OAB沿顺时针方向旋转得到△OCB，
∴△OAB≌△OBC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OA=OC=AB，∠AOB=∠BOC=60°，即旋转角为60°．
∴∠BAO+∠AOC=180°，
∴AB∥OC，
∴四边形OABC为菱形；

（3）如图2，连接AC，AC与BO的交点为M．
∵A（-4，0），D（0，4$\sqrt{3}$），点B为线段AD的中点，
∴B（-2，2$\sqrt{3}$）．
∴M（-1，$\sqrt{3}$）．
∵过点D有一条直线平分四边形OABC的面积，
∴该直线经过点D、M．
设直线DM的解析式为y=kx+b（k≠0）．
则$\left\{\begin{array}{l}{b=4\sqrt{3}}\\{-k+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
故该直线的解析式为：y=3$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$x．

点评 本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形的应用以及平行四边形的面积等知识点，根据旋转的性质得到△OAB与△OCB都是等边三角形的解题的突破口．