Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CD=8，AC=10．
（1）求锐角A、B的正弦、余弦；
（2）求AB、BD的长．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACD中，先利用勾股定理计算出AD=6，再根据正余弦的定义可计算出∠A和∠ACD的正弦和余弦值，然后根据等角的余角相等可得到∠B=∠ACD，于是得到∠B的正弦和余弦值；
（2）在Rt△ABC中，利用∠A的余弦可计算出AB，然后计算AB-AD即可得到BD的长．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，∵CD=8，AC=10，
∴AD=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，cosA=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
sin∠ACD=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，cos∠ACD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴sinB=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{4}{5}$，
答：锐角A的正弦、余弦分别为$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$；锐角B的正弦、余弦分别为$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$；
（2）在Rt△ABC中，
∵cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{5}{3}$×10=$\frac{50}{3}$，
∴BD=AB-AD=$\frac{50}{3}$-6=$\frac{32}{3}$．
答：AB、BD的长分别为$\frac{50}{3}$，$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活应用勾股定理和三角函数的定义进行计算．