Question

17．如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．
（1）过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：CD²=DF•DA；
（2）如图2：若过BD上另一点E作BD的垂线交DA、DC于点F、G，有什么结论？并证明．

Answer 1

分析 （1）根据如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可以证得△DCE∽△DBC，△DEF∽△DAB；根据相似三角形的对应边成比例，即可证得．
（2）利用上题的方法，可以得到比例线段，将其变形，可得到等积式．

解答 证明：（1）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，
∴DE•DB=DA•DF，
∵∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，
∴△DEC∽△DCB，
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{DB}{CD}$，
∴DC²=DE•DB，
又∵DE•DB=DA•DF，
∴CD²=DF•DA．

（2）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠ADB=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，
∴DE•DB=DA•DF，
同理△DBC∽△GDE．
∴DB：GD=DC：DE．
∴DE•BD=CD•DG．
∴AB•DF=DC•DG．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．