Question

19．如图点A（1，2）、B（2，1）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$图象上，点P是反比例函数y=$\frac{2}{x}$在第一象限图象上的一个动点，作点P关于原点对称的点P′，以P P′为边作等边△P P′C，点C（x，y）在第四象限．
（1）当点P与点A重合时，点C的坐标是（$2\sqrt{3}，-\sqrt{3}$）．
（2）已知点G是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、G、F、C这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点C的纵坐标y的取值范围是y≤-6或-3＜y≤-2．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作PE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，连接OC，设P（m，n）．首先证明C（$\sqrt{3}$n，-$\sqrt{3}$m），点C在反比例函数y=-$\frac{6}{x}$上（x＞0）；
（2）利用（1）中结论，分两种情形讨论即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作PE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，连接OC，设P（m，n）．

易证△POE∽△COF，
∴$\frac{OP}{OC}$=$\frac{PE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CF=$\sqrt{3}$n，OF=$\sqrt{3}$m，
∴C（$\sqrt{3}$n，-$\sqrt{3}$m），
∵mn=2，
∴$\sqrt{3}$n•（-$\sqrt{3}$m）=-3mn=-6，
∴点C在反比例函数y=-$\frac{6}{x}$上（x＞0），
当P与A重合时，C（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
故答案为（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）．

（2）如图2中，

观察图象可知：当CF为边时，G与B重合，CF=AB=$\sqrt{2}$，此时C（1，-6），
∴y≤-6时，存在以A、G、F、C这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形，
当CF为对角线时，G与B重合时，易证C′（3，-2），G与A重合时，A是C′F′的中点，此时C（2，-3），
观察图象可知当-3＜y≤-2时，存在以A、G、F、C这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形，
综上所述，满足条件的y的取值范围为y≤-6或-3＜y≤-2．
故答案为y≤-6或-3＜y≤-2．

点评 本题考查反比例函数的应用，平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，综合性比较强，属于中考填空题中的压轴题．