Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

1

4

（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

 

（2）已知|ab-2|与（b-1）²互为相反数，试求代数式：

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2013)(b+2013)

（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算,相反数,非负数的性质：绝对值,非负数的性质：偶次方

专题：规律型

分析：（1）归纳总结得到拆项规律，写出即可；
（2）利用互为相反数两数之和为0求出a与b的值，代入原式后利用拆项法变形，抵消合并即可；
（3）原式变形后，利用拆项法化简，抵消合并即可．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
故答案为：

1

n

-

1

n+1

；
（2）∵|ab-2|+（b-1）²=0，
∴ab=2，b=1，
解得：a=2，b=1，
则原式=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2014×2015

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

；
（3）原式=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2012

-

1

2014

）=

1

2

×

2012

2014

=

1006

4028

．

点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．