如图.在平面直角坐标系内.点O为坐标原点.经过A的直线交x轴正半轴于点B.交y轴于点C.OB=OC.直线AD交x轴负半轴于点D.若△ABD的面积为27．(1)求直线AD的解析式,(2)横坐标为m的点P在AB上.过点P作x轴的平行线交AD于点E.设PE的长为y.求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围,的条件下.在x轴上是否存在点F.使△PEF为等腰直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A（-2，6）的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27．

（1）求直线AD的解析式；
（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）根据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，设出解析式为y=-x+n，把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD的值，从而求出D点的坐标，直接根据待定系数法求出AD的解析式；
（2）先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的总坐标，将P点的总坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；
（3）要使△PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，根据等腰直角三角形的性质求出（2）中m的值，就可以求出F点的坐标．

解答解：（1）∵OB=OC，
∴设直线AB的解析式为y=-x+n，
∵直线AB经过A（-2，6），
∴2+n=6，
∴n=4，
∴直线AB的解析式为y=-x+4，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∵△ABD的面积为27，A（-2，6），
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×BD×6=27，
∴BD=9，
∴OD=5，
∴D（-5，0），
设直线AD的解析式为y=ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=6}\\{-5a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=10}\end{array}\right.$．
∴直线AD的解析式为y=2x+10；
（2）∵点P在AB上，且横坐标为m，
∴P（m，-m+4），
∵PE∥x轴，
∴E的纵坐标为-m+4，
代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，
解得x=$\frac{-m-6}{2}$，
∴E（$\frac{-m-6}{2}$，-m+4），
∴PE的长y=m-$\frac{-m-6}{2}$=$\frac{3}{2}$m+3；
即y=$\frac{3}{2}$m+3，（0＜m＜4），
（3）在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形，
①当∠FPE=90°时，如图①，

有PF=PE，PF=-m+4 PE=$\frac{3}{2}$m+3，
∴-m+4=$\frac{3}{2}$m+3，
解得m=$\frac{2}{5}$，此时F（$\frac{2}{5}$，0）；
②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，

∴EF=-m+4，
∴∴-m+4=$\frac{3}{2}$m+3，
解得：m=$\frac{2}{5}$．
∴点E的横坐标为x=$\frac{-m-6}{2}$=-$\frac{16}{5}$，
∴F（-$\frac{16}{5}$，0）；
③当∠PFE=90°时，如图③，有 FP=FE，
∴∠FPE=∠FEP．
∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，
∴∠FPE=∠FEP=45°．
作FR⊥PE，点R为垂足，

∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，
∴∠PFR=∠RPF，
∴FR=PR．
同理FR=ER，
∴FR=$\frac{1}{2}$PE．
∵点R与点E的纵坐标相同，
∴FR=-m+4，
∴-m+4=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$m+3），
解得：m=$\frac{10}{7}$，
∴PR=FR=-m+4=-$\frac{10}{7}$+4=$\frac{18}{7}$，
∴点F的横坐标为$\frac{10}{7}$-$\frac{18}{7}$=-$\frac{8}{7}$，
∴F（-$\frac{8}{7}$，0）．
综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（$\frac{2}{5}$，0）或（-$\frac{16}{5}$，0）或（-$\frac{8}{7}$，0）．

点评本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．

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18．

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