Question

9．在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（8，0），D（0，4），若将△ABC沿AC所在直线对折，点B落在点E处，则M点的坐标是（3，4），点E的纵坐标（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）．

Answer 1

分析 作△MEC的高线EF，要想求M的坐标就需要求DM的长即可，设DM=x，利用勾股定理列方程可以求出x=3，写出M的坐标；
要想求E的坐标，就需要求DF和EF的长，利用面积法求EF=$\frac{12}{5}$，则可以求出DF和点E的纵坐标，写出点E的坐标即可．

解答 解：由对折得：∠BAC=∠CAE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DCA=∠CAE，
∴AM=CM，
∵B（8，0），D（0，4），
∴AD=4，AB=CD=8，
设DM=x，则AM=CM=8-x，
在Rr△ADM中，DM²+AD²=AM²，
∴x²+4²=（8-x）²，
x=3，
∴DM=3，AM=CM=8-3=5，
∴M（3，4），
过E作EF⊥CD于F，
由折叠得：EC=BC=4，
在Rt△MEC中，ME=3，
∴S_△MEC=$\frac{1}{2}$ME•EC=$\frac{1}{2}$MC•EF，
∴3×4=5EF，
∴EF=$\frac{12}{5}$，
由勾股定理得：FM=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴DF=3+$\frac{9}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴E（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$），
故答案为：（3，4）；（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）．

点评 本题考查了矩形的性质和翻折变换问题，明确折叠前后的两边及两角对应相等，并熟练掌握矩形的性质，设未知数，利用勾股定理列方程可以求边长，另外本题还运用了面积法求直角三角形斜边上的高．