Question

为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym²．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【考点】二次函数的应用．

【专题】应用题．

【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；

（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．

【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，

∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，

∴AE=2BE，

设BE=a，则AE=2a，

∴8a+2x=80，

∴a=﹣x+10，3a=﹣x+30，

∴y=（﹣x+30）x=﹣x²+30x，

∵a=﹣x+10＞0，

∴x＜40，

则y=﹣x²+30x（0＜x＜40）；

（2）∵y=﹣x²+30x=﹣（x﹣20）²+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，

∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．

【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．