Question

1．如图，在△ABC中，∠B=60°，AB：AC=5：7，其内切圆⊙O与BC、AC、AB分别切于点D、E、F，且⊙O的面积为12π，求△ABC的三边长．

Answer 1

分析 过点A作AH⊥BC于H，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，如图，根据条件可求出⊙O的半径，根据切线长定理可得BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠FBO=∠DBO=30°，在Rt△ODB中运用三角函数可求出BD．设AB=5x，即可得到AC=7x，BC=2x+12，然后根据△ABC面积两种表示方法建立关于x的方程，求出x，即可解决问题．

解答 解：过点A作AH⊥BC于H，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，如图．
设AB=5x，由AB：AC=5：7得AC=7x．
∵S_⊙O=πOD²=12π，∴OD=2$\sqrt{3}$，
∴OE=OF=OD=2$\sqrt{3}$．
∵⊙O与BC、AC、AB分别切于点D、E、F，
∴BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠FBO=∠DBO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴$\frac{OD}{BD}$=tan∠OBD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BD=$\sqrt{3}$OD=6，
∴BF=6，AE=AF=5x-6，
∴DC=EC=7x-（5x-6）=2x+6，
∴BC=6+2x+6=2x+12．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$BC•AB•sin∠ABC=$\frac{1}{2}$（2x+12）•5x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x（x+6），
且S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC=$\frac{1}{2}$AB•OF+$\frac{1}{2}$BC•OD+$\frac{1}{2}$AC•OE
=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$（AB+BC+AC）=$\sqrt{3}$（5x+2x+12+7x）=$\sqrt{3}$（14x+12），
∴$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x（x+6）=$\sqrt{3}$（14x+12），
解得x₁=2，x₂=-$\frac{12}{5}$（舍去），
∴AB=5x=10，AC=7x=14，BC=2x+12=16．

点评 本题主要考查了切线长定理、三角函数、解一元二次方程、圆的面积公式、三角形的面积公式等知识，运用三角形面积两种表示建立方程是解决本题的关键．