【题目】随着襄阳市近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润与投资量
成正比例关系,如图1所示;种植花卉的利润
与投资量
成二次函数关系,如图2所示(注:利润与投资量的单位:万元)
(1)分别求出利润与
关于投资量
的函数关系式;
(2)如果这位专业户以10万元资金投入种植花卉和树木,求他获得的最大利润是多少?
(3)在(2)的条件下,根据对市场需求的调查,这位专业户决定投入种植树木的资金不得高于投入种植花卉的资金,他至少获得多少利润?
【答案】(1),
;(2)50万元;(3)22.5万元.
【解析】
试题(1)可根据图象利用待定系数法求解函数解析式;
(2)根据总利润=树木利润+花卉利润,列出函数关系式,再求函数的最值;
(3)先将总利润配方,再由≥
,解得
≥5,所以5≤
≤8,由当
≥2时,
随
的增大而增大,得到当
=5时,
有最小值22.5.
试题解析:(1)设,由图1所示,函数
的图象过(1,2),∴
,∴
,故利润
与关于投资量
的函数关系式为:
,因为该抛物线的顶点是原点,所以设
,由图2所示,函数
的图像过(2,2),所以
,∴
,故利润
与关于投资量
的函数关系式为:
;
(2)设这位专业户投入种植花卉(0≤
≤10)万元,则投入种植树木
万元,他获得的利润是
万元,根据题意,得:
,
∵0≤≤10,∴-2≤
-2≤8 ,∴
≤64,即
≤32,∴
+18≤50,即
≤50,当
=10时,
的最大值是50.所以,这位专业户获得的最大利润是50万元 ;
(3)由(2)知,他获得的利润,
由题意可知,≥
,解得
≥5,所以5≤
≤8,
∵当≥2时,
随
的增大而增大,∴当
=5时,
有最小值22.5,∴这位专业户至少获得22.5万元的利润.
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【题目】抛物线经过A,B
,C
三点.
(1)求抛物线的解析式。
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
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【题目】如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连接DC,点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点.
(1)观察猜想:图1中,线段PF与PG的数量关系是 ,∠FPG= (用含α的代数式表示)
(2)探究证明:当△ADE绕点A旋转到如图2所示的位置时,小新猜想(1)中的结论仍然成立,请你证明小新的猜想.
(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=2,AB=6,请直接写出PF的最大值.
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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P,Q,给出如下定义:若P,Q为某个三角形的顶点,且边PQ上的高h,满足h=PQ,则称该三角形为点P,Q的“生成三角形”.
(1)已知点A(4,0);
①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O,A的“生成三角形”,求该三角形的腰长;
②若Rt△ABC是点A,B的“生成三角形”,且点B在x轴上,点C在直线y=2x﹣5上,则点B的坐标为 ;
(2)⊙T的圆心为点T(2,0),半径为2,点M的坐标为(2,6),N为直线y=x+4上一点,若存在Rt△MND,是点M,N的“生成三角形”,且边ND与⊙T有公共点,直接写出点N的横坐标的取值范围.
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【题目】“校园安全”受到全社会的广泛关注,卧龙中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了两幅尚不完整的统计图,如图所示,请根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有______人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_____度;
(2)请补全条形统计图;
(3)若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.
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【题目】我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
(1)如图,在中,点
,
分别在
,
上,设
,
相交于点
,若
,
.请你写出图中一个与
相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形?
(2)在中,如果
是不等于
的锐角,点
,
分别在
,
上,且
.探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.
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【题目】如图,抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),交y轴的正半轴于点C,对称轴交抛物线于点D,交x轴与点E,则下列结论:①2a+b=0;②b+2c>0;③a+b>am
+bm(m为任意实数);④一元二次方程
有两个不相等的实数根;⑤当△BCD为直角三角形时,a的值有2个;⑥若点P为对称轴上的动点,则
有最大值,最大值为
.其中正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线经过点A,作AB⊥x轴于点B,将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD.若点B的坐标为(2, 0),则点C的坐标为( )
A.(﹣1,)B.(﹣2,
)C.(
,1)D.(
,2)
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【题目】如图1,抛物线C:y=x2经过变换可得到抛物线C1:y1=a1x(x﹣b1),C1与x轴的正半轴交于点A,且其对称轴分别交抛物线C、C1于点B1、D1.此时四边形OB1A1D1恰为正方形:按上述类似方法,如图2,抛物线C1:y1=a1x(x﹣b1)经过变换可得到抛物线C2:y2=a2x(x﹣b2),C2与x轴的正半轴交于点A2,且其对称轴分别交抛物线C1、C2于点B2、D2.此时四边形OB2A2D2也恰为正方形:按上述类似方法,如图3,可得到抛物线C3:y3=a3x(x﹣b3)与正方形OB3A3D3,请探究以下问题:
(1)填空:a1= ,b1= ;
(2)求出C2与C3的解析式;
(3)按上述类似方法,可得到抛物线n:yn=anx(x﹣bn)与正方形OBnAnDn(n≥1)
①请用含n的代数式直接表示出n的解析式;
②当x取任意不为0的实数时,试比较y2018与y2019的函数值的大小关系,并说明理由.
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