Question

【题目】如图1，抛物线C：y＝x2经过变换可得到抛物线C1：y1＝a1x（x﹣b1），C1与x轴的正半轴交于点A，且其对称轴分别交抛物线C、C1于点B1、D1．此时四边形OB1A1D1恰为正方形：按上述类似方法，如图2，抛物线C1：y1＝a1x（x﹣b1）经过变换可得到抛物线C2：y2＝a2x（x﹣b2），C2与x轴的正半轴交于点A2，且其对称轴分别交抛物线C1、C2于点B2、D2．此时四边形OB2A2D2也恰为正方形：按上述类似方法，如图3，可得到抛物线C3：y3＝a3x（x﹣b3）与正方形OB3A3D3，请探究以下问题：

（1）填空：a1＝　 ，b1＝　 ；

（2）求出C2与C3的解析式；

（3）按上述类似方法，可得到抛物线n：yn＝anx（x﹣bn）与正方形OBnAnDn（n≥1）

①请用含n的代数式直接表示出n的解析式；

②当x取任意不为0的实数时，试比较y2018与y2019的函数值的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1，2；（2）y2＝x2﹣2x，y3＝x2﹣2x；（3）①yn＝x2﹣2x（n≥1），②当x≠0时，y2018＞y2019．

【解析】

（1）求与x轴交点A1坐标，根据正方形对角线性质表示出B1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b1的值，写出D1的坐标，代入y1的解析式中可求得a1的值；

（2）求与x轴交点A2坐标，根据正方形对角线性质表示出B2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b2的值，写出D2的坐标，代入y2的解析式中可求得a2的值，写出抛物线C2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C3的解析式；

（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出an＝a1＝1，由B1坐标（1，1）、B2坐标（3，3）、B3坐标（7，7）得Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1），则bn＝2（2n﹣1）＝2n+1﹣2（n≥1），写出抛物线n解析式．

②先求抛物线C2018和抛物线C2019的交点为（0，0），在交点的两侧观察图形得出y2018与y2019的函数值的大小．

（1）y1＝0时，a1x（x﹣b1）＝0，

x1＝0，x2＝b1，

∴A1（b1，0），

由正方形OB1A1D1得：OA1＝B1D1＝b1，

∴B1（，），D1（，），

∵B1在抛物线c上，则＝（）2，

b1（b1﹣2）＝0，

b1＝0（不符合题意），b1＝2，

∴D1（1，﹣1），

把D1（1，﹣1）代入y1＝a1x（x﹣b1）中得：﹣1＝﹣a1，

∴a1＝1，

故答案为：1，2；

（2）y2＝0时，a2x（x﹣b2）＝0，

x1＝0，x2＝b2，

∴A2（b2，0），

由正方形OB2A2D2得：OA2＝B2D2＝b2，

∴B2（，），

∵B2在抛物线c1上，则＝（）2﹣2×，

b2（b2﹣6）＝0，

b2＝0（不符合题意），b2＝6，

∴D2（3，﹣3），

把D2（3，﹣3）代入C2的解析式：﹣3＝3a2（3﹣6），a2＝，

∴C2的解析式：y2＝x（x﹣6）＝x2﹣2x，

y3＝0时，a3x（x﹣b3）＝0，

x1＝0，x2＝b3，

∴A3（b3，0），

由正方形OB3A3D3得：OA3＝B3D3＝b3，

∴B3（，），

∵B3在抛物线C2上，则＝（）2﹣2×，

b3（b3﹣18）＝0，

b3＝0（不符合题意），b3＝18，

∴D3（9，﹣9），

把D3（9，﹣9）代入C3的解析式：﹣9＝9a3（9﹣18），a3＝，

∴C3的解析式：y3＝x（x﹣18）＝x2﹣2x；

（3）①n的解析式：yn＝x2﹣2x（n≥1）．

②由上题可得：

抛物线C2018的解析式为：y2018＝x2﹣2x，

抛物线C2019的解析式为：y2019＝x2﹣2x，

∴两抛物线的交点为（0，0）；

如图4，由图象得：当x≠0时，y2018＞y2019．