Question

【题目】如图，已知是的弦，点在上，且，联结、，并延长交弦于点，，．

（1）求的大小；

（2）若点在上，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）4．

【解析】

（1）连接OB，证OD垂直平分AB，在Rt△AOD中通过解直角三角形可求出∠OAB的度数；

（2）连接OE，证△OBE是等边三角形，即可知BE的长度等于半径．

（1）如图1，连接OB，

∵，

∴∠AOC＝∠BOC，

∴180°∠AOC＝180°∠BOC，

∴∠AOD＝∠BOD，

∵OA＝OB，

∴OD垂直平分AB，

∴AD＝BD＝AB＝2，

设⊙O的半径为r，则OD＝6r，

在Rt△AOD中，AO2＝AD2＋OD2，

∴r2＝（2）2＋（6r）2，

解得，r＝4，

∴cos∠OAD＝＝，

∴∠OAD＝30°，

即∠OAB＝30°；

（2）如图2，连接OE，

由（1）知，∠OAB＝30°，

∵OB＝OA，

∴∠OBA＝∠OAB＝30°，

∵EB∥AO，

∴∠EBD＝∠OAB＝30°，

∴∠EBO＝∠EBD＋∠OBA＝60°，

∵OE＝OB，

∴△OEB是等边三角形，

∴BE＝r＝4．