【题目】如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;
(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形,请求出此时点P的坐标;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3(2)(,
)(3)当点P的坐标为(
,
)时,四边形ACPB的最大面积值为
【解析】
(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据菱形的对角线互相垂直且平分,可得P点的纵坐标,根据自变量与函数值的对应关系,可得P点坐标;
(3)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得PQ的长,根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案.
(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式,得
解得
二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)若四边形POP′C为菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上,
如图1,连接PP′,则PE⊥CO,垂足为E,
∵C(0,3),
∴
∴点P的纵坐标,
当时,即
解得(不合题意,舍),
∴点P的坐标为
(3)如图2,
P在抛物线上,设P(m,﹣m2+2m+3),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
将点B和点C的坐标代入函数解析式,得
解得
直线BC的解析为y=﹣x+3,
设点Q的坐标为(m,﹣m+3),
PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m.
当y=0时,﹣x2+2x+3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
OA=1,
S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
当m=时,四边形ABPC的面积最大.
当m=时,
,即P点的坐标为
当点P的坐标为时,四边形ACPB的最大面积值为
.
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【题目】某商店购进一批成本为每件 30 元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式;
(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于 50 元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润 w(元)最大?最大利润是多少?
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元,则每天的销售量最少应为多少件?
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【题目】在△ABC中,AB=AC,点A在以BC为直径的半圆内.仅用 (不能使用圆规)分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)请在图中画出BA边上的高CD;
(2)请在图中画出弦DE,使得DE∥BC.
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【题目】某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动,据了解,某街道居民人口共有7.5万人,街道划分为A,B两个社区,B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.
(1)求A社区居民人口至少有多少万人?
(2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现:A社区有1.2万人知晓,B社区有1万人知晓,为了提高知晓率,街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,A社区的知晓人数平均月增长率为m%,B社区的知晓人数第一个月增长了m%,第二个月增长了2m%,两个月后,街道居民的知晓率达到76%,求m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,经过A,D两点的圆的圆心F恰好在y轴上,⊙F与边BC相切于点E,与x轴交于点M,与y轴相交于另一点G,连接AE.
(1)求证:AE平分∠BAC;
(2)若点A,D的坐标分别为(0,﹣1),(2,0),求⊙F的半径;
(3)求经过三点M,F,D的抛物线的解析式.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE,点E落在AD边上,若AF=4.AB=7.
(1)旋转中心为 ;旋转角度为 ;
(2)求DE的长度;
(3)指出BE与DF的关系如何?并说明理由.
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【题目】教科书中这样写道:“我们把多项式及
叫做完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求化数式最大值.最小值等.
例如:分解因式
;例如求代数式
的最小值.
.可知当
时,
有最小值,最小值是
,根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)分解因式: _____
(2)当为何值时,多项式
有最小值,并求出这个最小值.
(3)当为何值时.多项式
有最小值并求出这个最小值
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【题目】在△ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,M、N分别是AB、AC的中点,D、E在BC上,且DE=5cm,连结DN、ME交于H,则△HDE的面积为_____.
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【题目】在小水池旁有一盏路灯,已知支架AB的长是0.8m,A端到地面的距离AC是4m,支架AB与灯柱AC的夹角为65°.小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°,在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°(点C、E、D在同一直线上),求小水池的宽DE.(结果精确到0.1m)(sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan50°≈1.2)
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