Question

6．如图，点P（-2，3）在双曲线上，点E为该双曲线在第四象限图象上一动点，过E的直线与双曲线只有一个公共点，并与x轴和y轴分别交于A、B两点，则△AOB面积为（　　）

• A． 24
• B． 12
• C． 6
• D． 不确定

Answer 1

分析 先利用待定系数法求出双曲线的解析式为y=-$\frac{6}{x}$，再设直线AB的解析式为y=kx+b，联立直线与双曲线的解析式得出关于x的一元二次方程，根据△=0得出b²=24k，把b²=24k代入△AOB面积的表达式即可求解．

解答 解：∵点P（-2，3）在双曲线上，
∴双曲线的解析式为y=-$\frac{6}{x}$．
设直线AB的解析式为y=kx+b．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，得 kx²+bx+6=0，
∵直线与双曲线只有一个公共点，
∴△=b²-4•k•6=0，即b²=24k．
∵直线y=kx+b与x轴和y轴分别交于A、B两点，
∴A（-$\frac{b}{k}$，），B（0，b），
∴△AOB面积=$\frac{1}{2}$•|-$\frac{b}{k}$|•|b|=$\frac{{b}^{2}}{2k}$=$\frac{24k}{2k}$=12．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求双曲线的解析式，一元二次方程根的判别式，三角形的面积，由直线AB与双曲线只有一个公共点得出b²=24k是解题的关键．