【题目】如图,在平行四边形中,
的平分线与
的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,
,垂足
为,若
,则
的长为_____________
【答案】
【解析】
由平行四边形的性质和角平分线证出AD=DF,由F为DC中点,AB=CD,求出AD与DF的长,得出三角形ADF为等腰三角形,根据三线合一得到G为AF中点,在直角三角形ADG中,由AD与DG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而求出AF的长,再由AAS证明ADF≌△ECF全等,得出AF=EF,即可求出AE的长.
∵AE为∠DAB的平分线,
∴∠DAE=∠BAE,
∵DC∥AB,
∴∠BAE=∠DFA,
∴∠DAE=∠DFA,
∴AD=FD,
又F为DC的中点,
∴DF=CF,
∴AD=DF=DC=
AB=4,
在Rt△ADG中,根据勾股定理得:AG= ,
则AF=2AG=2,
∵平行四边形ABCD中,
∴AD∥BC,
∴∠DAF=∠E,∠ADF=∠ECF,
在△ADF和△ECF中, ,
∴△ADF≌△ECF(AAS),
∴AF=EF,
则AE=2AF=2×2=4
,
故答案为:4.
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【题目】探索:小明和小亮在研究一个数学问题:已知AB∥CD,AB和CD都不经过点P,探索∠P与∠A,∠C的数量关系.
发现:在图1中,小明和小亮都发现:∠APC=∠A+∠C;
小明是这样证明的:过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A( )
∵PQ∥AB,AB∥CD.
∴PQ∥CD( )
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的:过点作PQ∥AB∥CD.
∴∠APQ=∠A,∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上,填写依据;两人的证明过程中,完全正确的是 .
应用:
在图2中,若∠A=120°,∠C=140°,则∠P的度数为 ;
在图3中,若∠A=30°,∠C=70°,则∠P的度数为 ;
拓展:
在图4中,探索∠P与∠A,∠C的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图,在ABCD中,点P是AB边上一点(不与A,B重合),过点P作PQ⊥CP,交AD边于点Q,且
,连结
.
(1)求证:四边形是矩形;
(2)若CP=CD,AP=2,AD=6时,求的长.
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【题目】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制如图所示的两幅不完整的统计图.
请结合图中所给出的信息解答下列问题:
(1)本次抽样调查的样本容量是 ;
(2)补全条形统计图;
(3)若某商场天内有人次支付记录,估计选择微信支付的人数.
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【题目】《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求,之中记载了一道有趣的“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”
译文:“今有正方形水池边长为1丈,有棵芦苇生长在它长出水面的部分为1尺.将芦苇的中央,向池岸牵引,恰好与水岸齐接.问水深,芦苇的长度分别是多少尺?”(备注:1丈=10尺)
如果设水深为尺,那么芦苇长用含
的代数式可表示为_______尺,根据题意,可列方程为______________.
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【题目】在□ABCD中,点E在CD上,点F在AB上,连接AE、CF、DF、BE,∠DAE=∠BCF.
(1)如图1,求证:四边形DFBE是平行四边形;
(2)如图2,若E是CD的中点,连接GH,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中以GH为边或以GH为对角线的所有平行四边形.
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【题目】已知,如图,∠XOY=90°,点A、B分别在射线OX、OY上移动,BE是∠ABY的平分线,BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C,试问∠ACB的大小是否发生变化?如果保持不变,请给出证明;如果随点A、B移动发生变化,请求出变化范围.
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【题目】解答题
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE⊥BF于点M,求证:AE=BF;
(2)如图2,将 (1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=2,BC=3,AE⊥BF于点M,探究AE与BF的数量关系,并证明你的结论.
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