Question

【题目】 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠ABD的平分线BE交AC于G，交AD于F，且DE⊥BE．

（1）求证：DE=BF；

（2）若BG=，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BF=2

【解析】

（1）延长DE和BA交于M，根据ASA证△MBE≌△DBE，推出DE=DM，根据ASA证△ABF≌△ADM，推出BF=DM即可；

（2）关键正方形性质推出∠ADB=∠ABD，证△ABG和△DBF相似，得出比例式，代入求出即可．

（1）证明：延长DE和BA交于M，

∵DE⊥BE，

∴∠BED=∠BEM=90°，

∵BF平分∠ABD，

∴∠ABE=∠DBE，

在△MBE和△DBE中

∠MEB=∠DEB，BE=BE，∠MBE=∠DBE，

∴△MBE≌△DBE，

∴DE=EM=DM，

∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠MAD=∠BAD=90°，

∵∠EFD=∠AFB，

∴∠MDA=∠ABF，

在△ABF和△ADM中

∠MAD=∠BAF，AB=AD，∠ADM=∠ABF，

∴△ABF≌△ADM，

∴BF=DM，

∴DE=BF．

（2）解：∵正方形ABCD，

∴∠BAC=∠ADB=×90°=45°，

∵∠ABG=∠DBG，

∴△ABG∽△DBF，

∴===，

∴BF=2．