Question

4．如图，为乒乓球台横截面图，桌面长AB=280cm，球网MN=18cm，桌面距地面80cm，以BA的延长线上距A点20cm的O点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系．从O点抽出的球经过点C（50，$\frac{250}{9}$），且路径是抛物线的一部分，在距O点水平距离为150cm的地方，球达到最高点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）此球是否可以击中球台而不触网？说明理由；
（3）若此球是从A点左侧离地面30cm高的D点抽出，球沿着原来的路径运动，求D点与球行进过程中达到最高处时的水平距离．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，由在距O点水平距离为150cm的地方，球达到最高点就可以求出球的落点的坐标，由待定系数法就可以求出结论；
（2）由桌面长AB=280cm就可以求出球网的横坐标为140+20=160，当x=160时代入（1）的解析式就可以求出结论；
（3）先求出D的纵坐标，代入解析式就可以求出D的横坐标，就可以求出D点与O点的水平距离，进而得出结论．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{250}{9}=2500a+50b}\\{0=90000a+300b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{450}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{450}$x²+$\frac{2}{3}$x；

（2）当x=160时，y=$\frac{448}{9}$＞18，此球不触网；
当x=300时，y=0，说明球过点B（擦边），此球击中球台；
（3）当y=-50时，
-50=-$\frac{1}{450}$x²+$\frac{2}{3}$x；
解得：x₁=150-150$\sqrt{2}$，x₂=150+150$\sqrt{2}$（不合题意舍去），
当y=0时，
0=-$\frac{1}{450}$x²+$\frac{2}{3}$x；
解得：x₁=300，x₂=0（不合题意舍去）．
D点与球行进过程中达到最高处时的水平距离为：150-（150-150$\sqrt{2}$）=150$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量求函数值的运用和由函数值求自变量的值的运用，解答时运用待定系数法求出一次函数的解析式是关键．