Question

如图，⊙O是△ABE的外接圆，点O在AB上，BF为⊙O的切线，∠ABE=30°，过点O作OD⊥BE，垂足为D，延长OD交BF于点C，求证：BE=BC．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：由AB是⊙O的直径，BF为⊙O的切线，易得∠E=∠OBC=90°，由∠ABE=30°，可得∠OCB=∠ABE=30°，AE=OB=

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AB，继而证得△OBC≌△AEB（AAS），则可证得结论．

解答：证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
∵∠ABE=30°，
∴AE=

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AB，
∵BF为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，
∴∠OBC=90°，
∵OD⊥BE，
∴∠BOD=90°-∠ABE=60°，
∴∠OCB=90°-∠BOD=30°，
∴∠OBC=∠E，∠OCB=∠ABE，
∵OB=

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AB，
∴OB=AE，
在△OBC和△AEB中，

∠OBC=∠E ∠OCB=∠ABE OB=AE

，
∴△OBC≌△AEB（AAS），
∴BE=BC．

点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．