Question

【题目】为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB=60（ + ）海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=120（ - ）海里．
（参考数据： =1.41， =1.73， =2.45）

（1）分别求出A与C及B与C的距离AC、BC（结果保留根号）
（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，图中有无触礁的危险？

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，

可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，

设CE=x，

在Rt△CBE中，BE=CE=x，

在Rt△CAE中，AE= x，

∵AB=60（ + ）海里，

∴x+ x=60（ + ），

解得：x=60 ，

则AC= x=120 ，

BC= x=120 ，

答：A与C的距离为120 海里，B与C的距离为120 海里；

（2）解：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，

在△ADF中，

∵AD=120（ - ），∠CAD=60°，

∴DF=ADsin60°=180 ﹣60 ≈106.8＞100，

故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险．

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中．（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE与Rt△CAE中，分别表示出BE、AE的长度，然后根据AB=60（ + ）海里，代入BE、AE的式子，求出x的值，继而可求出AC、BC的长度；（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，根据AD的值，利用三角函数的知识求出DF的长度，然后与100比较，进行判断．