Question

9．已知正方形ABCD的边长为1，对角线AC，BD交于点O，E为AB的中点，DE与AC交于点M，CE交BD于点N，则四边形OMEN的内切圆的半径等于$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 利用面积转化S=r$•\frac{c}{2}$，由相似可得AM=$\frac{AC}{3}$，ME=$\frac{DE}{3}$，利用勾股定理可得AC，DE的长，从而得出四边形MENO的周长，由OM与OA的比例关系，易得△AOE的面积与△OME的面积比，可得△OME的面积，得四边形MENO的面积，根据周长与面积的关系得r．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，
∴AB∥CD，
∴△AME∽△CMD，
∵E为AB的中点，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{AM}{CM}=\frac{ME}{MD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}$，$\frac{ME}{DE}=\frac{1}{3}$，
∵AD=DC=1，
∴AE=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AC=$\sqrt{2}$，
∴ME=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，AM=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴MO=AO-AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴四边形MENO的周长为：2×（$\frac{\sqrt{5}}{6}+\frac{\sqrt{2}}{6}$）=$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$，
∵S_{四边形MENO}=2S_△MEO，
∵$\frac{{S}_{△MEO}}{{S}_{△AEO}}$=$\frac{OM}{OA}$=$\frac{1}{3}$，S_△AEO=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
∴S_△MEO=$\frac{1}{24}$，
∴S_{四边形MENO}=$\frac{1}{12}$，
∴r=$\frac{1}{12}÷$（$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{6}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题主要考查了多边形与其内切圆的关系，利用面积与周长的关系解得内切圆的半径是解答此题的关键．