Question

15．如图，⊙O的半径为1，点P（a，a-4）为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为点A和点B，则四边形PBOA面积的最小值是$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由点P的坐标为（a，a-4），得到OP=$\sqrt{{a}^{2}+（a-4）^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-8a+16}$，由于PA，PB是⊙O的两条切线，得到PA=PB，∠OAP=∠OBP，由于△OPA≌△OBP，在Rt△OAP中，根据勾股定理得到PA的长度，于是得到四边形PBOA面积=2×△OPA的面积=2×$\frac{1}{2}$OA•PA=$\sqrt{2{a}^{2}-8a+15}$=$\sqrt{2（a-4）^{2}+7}$，即可得到结果．

解答 解：∵点P的坐标为（a，a-4），
∴OP=$\sqrt{{a}^{2}+（a-4）^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-8a+16}$，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，∠OAP=∠OBP，
在△OPA与△OBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{∠OAP=∠OBP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△OPA≌△OBP，
在Rt△OAP中，
PA=$\sqrt{O{P}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-8a+16-1}$
=$\sqrt{2{a}^{2}-8a+15}$，
∴四边形PBOA面积=2×△OPA的面积=2×$\frac{1}{2}$OA•PA=$\sqrt{2{a}^{2}-8a+15}$
=$\sqrt{2（a-4）^{2}+7}$，
∵2＞0
∴当a=4时，四边形PBOA面积最小，
最小值为$\sqrt{7}$，
故答案为$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，最值问题，能求得四边形PBOA面积=$\sqrt{2（a-4）^{2}+7}$是解题的关键．