Question

已知抛物线y=-x²-（m-4）x+3（m-1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m≤0，直线y=kx-1，经过点A，与y轴交于点D，且AD×BD=2

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，求抛物线的解析式；
（3）若点A在点B的左边，在第一象限内，（2）中所得抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分△ACD的面积？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，可令y=0，则所得方程的根的判别式△＞0，可据此求出m的取值范围．
（2）根据已知直线的解析式，可得到D点的坐标；根据抛物线的解析式，可用m表示出A、B的坐标，即可得到AD、BD的长，代入AD×BD=2

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中，即可求得m的值，从而确定抛物线的解析式．
（3）根据（2）题所得抛物线即可确定A、B、C的坐标；假设存在符合条件的P点，设直线PA与y轴的交点为E，若PA将△ACD分成面积相等的两部分，那么DE=CE，由此可求出E点的坐标，进而可求出直线AE（即PA）的解析式，联立抛物线的解析式即可求得P点坐标．（若直线与抛物线只有一个交点，就说明不存在符合条件的P点．）

解答：解：（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=（m-4）²+12（m-1）=m²+4m+4=（m+2）²＞0，
∴m≠-2．

（2）∵y=-x²-（m-4）x+3（m-1）=-（x-3）（x+m-1），
∴抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（1-m，0）；
易知D（0，-1），则有：
AD×BD=

32+12

×

(1-m)2+12

=2

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，
∴10×（m²-2m+2）=20，
即m²-2m=0，
解得m=0，m=2（舍去），
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x-3．

（3）若点A在点B左侧，则：A（1，0），B（3，0），C（0，-3）；
假设存在符合题意的P点，设直线PA与y轴的交点为E，
若AE平分△DAC的面积，
则有：DE=CE，即E（0，-2）；
∴直线AE的解析式为：y=2x-2；
联立抛物线的解析式有

y=-x2+4x-3 y=2x-2

，
解得

x=1 y=0

；
即直线AE与抛物线只有一个交点A，因此不存在符合条件的P点．

点评：此题考查了根的判别式、二次函数解析式的确定、勾股定理、函数图象的交点坐标及图形面积的求法，难度适中．