Question

对于x＞0，规定f（x）=

x

x+1

，例如f（2）=

2

2+1

=

2

3

，f（

1

2

）=

1 2

1 2 +1

=

1

3

，那么f（

1

2011

）+f（

1

2010

）+…+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=

2010.5

．

Answer 1

分析：根据f（2）=

2

2+1

=

2

3

可知f（x）=

x

x+1

，根据f（

1

2

）=

1 2

1 2 +1

=

1

3

可知f（

1

x

）=

1

x+1

，以此类推可分别求f（

1

2011

）、f（

1

2010

）、…、f（

1

3

）、f（

1

2

）、f（1）、f（2）、…f（2011）的值，再把结果相加，又发现除

1

2

外，其它的数能两两组成1，据此可知有

2012-3+1

2

个1，进而可求出答案．

解答：解：原式=

1

2012

+

1

2011

+…+

1

3

+

1

2

+

2

3

+…+

2011

2012

=1×2010+

1

2

=2010.5．
故答案是2010.5．

点评：本题考查了分式的混合运算，解题的关键是寻找规律，比如：根据f（x）=

x

x+1

来计算正整数时的值；根据知f（

1

x

）=

1

x+1

来计算分数时的值，再根据结果可发现以

1

2

为对称中心的两个数相加等于1．