Question

7．如图，点A在直线y=x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边作正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）第一象限的图象上，连接AD．若OA²-AD²=20，则k的值为10．

Answer 1

分析 设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C（t，t-a），D（t+a，t-a），利用等腰直角三角形的性质得OA=$\sqrt{2}$t，AD=$\sqrt{2}$a，则由OA²-AD²=20可得t²-a²=10，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=（t+a）（t-a）=t²-a²=10．

解答 解：设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，
∴C（t，t-a），D（t+a，t-a），
∴OA=$\sqrt{2}$t，AD=$\sqrt{2}$a，
∵OA²-AD²=20，
∴（$\sqrt{2}$t）²-（$\sqrt{2}$a）²=20，
∴t²-a²=10，
∵点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=（t+a）（t-a）=t²-a²=10．
故答案为10．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．