Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以CD为直径作⊙O，交边AC于点P，连接BP，交AD于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果PB是⊙O的切线，BC=4，求PE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形的性质由AB=AC，点D是边BC的中点得到AD⊥BC，然后根据切线的判定定理即可得到AD是⊙O的切线；
（2）连结OP，由于AD是⊙O的切线，PB是⊙O的切线，根据切线长定理得PE=DE，根据切线的性质得OP⊥PE，易证得△BDE∽△BPO，则

DE

OP

=

BD

BP

，由于BC=4，得到CD=BD=2，则OP=1，OB=3，利用勾股定理计算出BP=

OB2-OP2

=2

2

，然后利用相似比可计算出DE=

2

2

，所以PE=

2

2

．

解答：（1）证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD是⊙O的切线；

（2）解：连结OP，如图，
∵AD是⊙O的切线，PB是⊙O的切线，
∴PE=DE，OP⊥PE，
∴∠BPO=90°，
∴∠BPO=∠ADB=90°，
而∠DBE=∠PBO，
∴△BDE∽△BPO，
∴

DE

OP

=

BD

BP

，
∵BC=4，
∴CD=BD=2，
∴OP=1，OB=3，
∴BP=

OB2-OP2

=

32-12

=2

2

，
∴DE=

1×2

2 2

=

2

2

，
∴PE=DE=

2

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质．