Question

如图，⊙O上两点C、E关于直径AB对称，连接AC、BC，过C作CE的垂线，交⊙O于点D，交EB的延长线交于点F，且BC：CA=

3

：1，AB=10，
（1）证明：B是EF的中点；
（2）求CF的长．

Answer 1

考点：垂径定理,等边三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）求出AB=10，BC=5

3

，AC=5，推出BC=BE，解直角三角形求出∠A=60°=∠CEB，得出△CBE是等边三角形，推出BC=BE，∠ECB=60°，求出∠F=∠FCB=30°，推出CB=BF即可；
（2）由（1）得：CE=CB=5

3

，∠E=60°，解直角三角形得出CF=CE•tan60°，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC：CA=

3

：1，AB=10，
∴AB=10，BC=5

3

，AC=5，
∵C、E关于直径AB对称，
∴CE⊥AB，且AB为⊙O的直径，
∴弧BC=弧BE，
∴BC=BE，
∵tanA=

5 3

5

=

3

，
∴∠A=60°=∠CEB，
∴△CBE是等边三角形，
∴BC=BE，∠ECB=60°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
∴∠F=∠FCB=90°-60°=30°，
∴CB=BF，
∴CB=BE=BF，
∴B为EF中点；

（2）解：由（1）得：CE=CB=5

3

，∠E=60°，
∴CF=CE•tan60°=5

3

×

3

=15．

点评：本题考查了垂径定理，解直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，有一定的难度．