Question

【题目】在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；

（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．

（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，

∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=50°．

在△ACE中∠AEC=80°，

在Rt△ADE中∠EFD=90°﹣80°=10°

（2）解：∠EFD= （∠C﹣∠B）

证明：∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE= =90°﹣ （∠C+∠B）

∵∠AEC为△ABE的外角，

∴∠AEC=∠B+90°﹣ （∠C+∠B）=90°+ （∠B﹣∠C）

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°．

∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C）

∴∠EFD= （∠C﹣∠B）

（3）解：∠EFD= （∠C﹣∠B）．

如图，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE= ．

∵∠DEF为△ABE的外角，

∴∠DEF=∠B+ =90°+ （∠B﹣∠C），

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°．

∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C）

∴∠EFD= （∠C﹣∠B）

【解析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD；（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°﹣ （∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC=90°+ （∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；（3）与（2）的方法相同．
【考点精析】本题主要考查了三角形的内角和外角和三角形的外角的相关知识点，需要掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能正确解答此题．