Question

已知在平面直角坐标系xoy中，直线y=-3x-3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知D（4，-1），在抛物线上是否存在点P，使得以线段PD为直径的⊙O′经过坐标原点O？若点P存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）已知正方形BEFG的顶点E在x轴上，除B点外，正方形BEFG还有一个顶点在抛物线上，请直接写出E点所有可能的坐标．

Answer 1

解：（1）直线y=-3x-3与x轴的交点为（-1，0），与y轴的交点为（0，-3），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）在抛物线上存在点P（3+2，12+8）或（3-2，12-8），能够使得以线段PD为直径的⊙O′经过坐标原点O．理由如下：
设P点的坐标为（x，x²-2x-3）．
∵线段PD为⊙O′的直径，D（4，-1），
∴O′点的坐标为（，）．
∵O′O=O′D，
∴（）²+（）²=（-4）²+（+1）²，
整理，得x²-6x-3=0，
解得x=3±2．
当x=3+2时，x²-2x-3=（3+2）²-2（3+2）-3=12+8，此时P点的坐标为（3+2，12+8），
当x=3-2时，x²-2x-3=（3-2）²-2（3-2）-3=12-8，此时P点的坐标为（3-2，12-8）；


（3）不妨设点F在抛物线y=x²-2x-3上，E点的坐标为（m，0）．
分两种情况：
①当BE为正方形BEFG的边时，则F点的坐标为（m，m²-2m-3）．
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=EF，
∴|m-3|=|m²-2m-3|，
即m-3=m²-2m-3，或m-3=-（m²-2m-3），
解得m₁=0，m₂=3，或m₁=-2，m₂=3，
当m=3时，E点与B点重合，不合题意，舍去，
∴E点的坐标为（0，0）或（-2，0）；
②当BE为正方形BEFG的对角线时，
∵BE=FG，BE⊥FG，BE与FG互相平分，
∴点F在BE的垂直平分线上，且点F到BE的距离BE，
∴F点的坐标为（，||），
∵点F在抛物线y=x²-2x-3上，
∴||=（）²-2（）-3，
即=（）²-2（）-3，或-=（）²-2（）-3，
解得m₁=-3，m₂=3，或m₁=-7，m₂=3，
当m=3时，E点与B点重合，不合题意，舍去，
∴E点的坐标为（-3，0）或（-7，0）．
综上可知，E点所有可能的坐标为（0，0）或（-2，0）或（-3，0）或（-7，0）．
分析：（1）根据直线y=-3x-3求出与x轴、y轴的交点坐标，再利用B的坐标，结合待定系数法求出a、b、c值，得到二次函数解析式；
（2）设P点的坐标为（x，x²-2x-3），先根据中点坐标公式得到O′点的坐标为（，），再根据同圆的半径相等得到O′O=O′D，列出关于x的方程，求解即可；
（3）根据题意，不妨设E点的坐标为（m，0），点F在抛物线y=x²-2x-3上．分两种情况进行讨论：①当BE为正方形BEFG的边时，则F点的坐标为（m，m²-2m-3），根据正方形的边长相等，BE=EF列出关于m的方程，求解即可；②当BE为正方形BEFG的对角线时，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得出F点的坐标为（，||），将它代入抛物线的解析式，列出关于m的方程，求解即可．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，中点坐标公式，两点间的距离公式，正方形的性质，综合性较强，难度较大，其中（3）进行分类讨论是解题的关键．