Question

12．如图，抛物线y=-ax²+bx+5过点（1，2）、（4，5），交y轴于点B，直线
AB经过抛物线顶点A，交x轴于点C，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点O在平面内，在第一象限内是否存在点P，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把已知点的坐标代入抛物线解析式即可求得a、b的值，可求得抛物线解析式；
（2）可先求得A、B两点的坐标，可求得AB长度，分别过A、B两点作AB的垂线，则点P可以在这两条直线上，且PA=AB或PB=AB，分别求得两垂线的解析式，设出点P的坐标，再根据线段相等可列出方程，可求得点P的坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=-ax²+bx+5过点（1，2）、（4，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+b+5=2}\\{-16a+4b+5=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+5；
（2）在y=x²-4x+5中，令x=0可得y=5，
∴B（0，5），
∵y=x²-4x+5=（x-2）²+1，
∴A（2，1），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+（1-5）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设直线AB解析式为y=kx+n，则有$\left\{\begin{array}{l}{2k+n=1}\\{n=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-2x+5，
①当PA⊥AB时，如图1，

可设直线PA解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m，把A（2，1）代入可得1+m=1，解得m=0，
∴直线PA解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∴可设点P坐标为（x，$\frac{1}{2}$x），
∴PA=$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{1}{2}x-1）^{2}}$，
∵四边形PABQ为正方形，
∴PA=AB，即$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{1}{2}x-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得x=-2或x=6
∵点P在第一象限内，
∴x=-2不符合题意，舍去，故x=6，此时P点坐标为（6，3）；
②当PB⊥AB时，如图2，

可设直线PB解析式为y=$\frac{1}{2}$x+s，把B（0，5）代入可得s=5，
∴直线PB解析式为y=$\frac{1}{2}$x+5，
∴可设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$x+5），
∴PB=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{2}x+5-5）^{2}}$，
同理可得$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{2}x+5-5）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得x=-4（舍去）或x=4，此时P点坐标为（4，7）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（6，3）或（4，7）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，注意利用正方形的性质列方程．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．