Question

如图，?ABCD中，BC=2CD，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠EFD=k∠AEF，求k的值．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接CF并延长交BA的延长线于点G，首先证得△AFG≌△CFD，得到CF=GF，AG=CD，再根据CE⊥AB，F是GC边中点，得到EF=GF，从而得到∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF，继而求得∠EFD=3∠AEF．

解答：解：连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，
∴AF=FD．
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF．
在△AFG和△CFD中，

∠G=∠DCF ∠G=∠DCF AF=FD

，
∴△AFG≌△CFD（AAS）．
∴CF=GF，AG=CD．
∵CE⊥AB，F是GC边中点，
∴EF=GF=

1

2

CG，
∴∠AEF=∠G．
∵BC=2CD，点F是AD的中点，
∴DF=CD，
∴AG=AF，
∴∠AFG=∠G，
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG，
∴∠CFD=∠AEF．
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
∴k=3．

点评：此题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．