Question

已知抛物线y=x²-4x+2m（m+x）与x轴有两个交点（x₁，0），（x₂，0），若，
y₂=-m²+6m-4
（1）当m≥0时，求y₁的取值范围；
（2）当m≤-1时，比较y₁与y₂的大小，并说明理由．

Answer 1

解：原函数可化为y=x²-（4-2m）x+2m²的形式，
∴x₁+x₂=2（4-2m）=8-4m，x₁•x₂=4m²，
∴y₁=8-4m-，
（1）当m≥0时，原函数可化为：y₁=8-5m，
∵m≥0，
∴5m≥0，-5m≤0，
∴8-5m≤8，即y₁≤8；
（2）当m≤-1时，y₁=8-3m，
∵m≤-1，
∴8-3m≥11，即y₁≥11；
∵y₂可化为：y₂=-（m-3）²+5，
∵m≤-1，∴m-3≤-4，
∴（m-3）²≥16，
∴-（m-3）²+5≤-11，即y₂≤-11，
∴y₁＞y₂．
分析：先把函数化为y=x²-（4-2m）x+2m²的形式，再根据根与系数的关系求出x₁+x₂及x₁•x₂的值代入y₁的关系式，根据（1）中m≥0及不等式的基本性质求解；
（2）根据m≤-1及不等式的基本性质可分别求出y₁与y₂的取值范围，再比较其大小即可．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据根与系数的关系得到y₁的解析式，再由不等式的基本性质即可解答．