Question

4．【知识链接】连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线
【动手操作】小明同学在探究证明中位线性质定理时，是沿着中位线将三角形剪开然后将他们无缝隙、无重叠
的拼在一起构成平行四边形，从而得出：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半
【定理证明】小明为证明定理，画出了图形，写出了不完整的已知和求证（如图1）；
（1）在图1方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按图2小明的想法写出证明．

Answer 1

分析 （1）作出图形，然后写出已知、求证；
（2）延长EF到D，使FD=EF，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，根据两直线平行判断出AB∥CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得结论．

解答 （1）解：中点，∥，=$\frac{1}{2}$；

（2）证明：延长DE到点F，使EF=DE．连接CF，
在△ADE和△CEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=CE}\\{∠AED=∠CEF}\\{DE=FE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CEF，
∴AD=CF，∠A=∠ECF，
∴AD∥CF，
∵BD=AD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE∥BC，且DF=BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}BC$．

点评 本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．