Question

12．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，点P为CD上一动点，当BP+$\frac{1}{2}$CP最小时，DP=5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′．易知PB+$\frac{1}{2}$PC=PB+PE，所以当BE′⊥AC时，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，由tan∠ACB=$\frac{BE′}{CE′}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，设BE′=5$\sqrt{3}$，CE′=3k，则AE′=8-3k，AB=16-6k，BD=16-6k-4=12-6k，根据BC²=BD²+CD²=BE′²+CE′²，列出方程求出k，即可解决问题．

解答 解：如图，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′．

∵CD⊥AB，∠ACD=30°，∠PEC=90°，AC=8，
∴PE=$\frac{1}{2}$PC，∠A=60°，∠ABE′=30°，AD=4，CD=4$\sqrt{3}$，
∴PB+$\frac{1}{2}$PC=PB+PE，
∴当BE′⊥AC时，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，
∵tan∠ACB=$\frac{BE′}{CE′}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，设BE′=5$\sqrt{3}$，CE′=3k，
∴AE′=8-3k，AB=16-6k，BD=16-6k-4=12-6k，
∴BC²=BD²+CD²=BE′²+CE′²，
∴（12-6k）²+48=9k²+75k²，
整理得k²+3k-4=0，
∴k=1或-4（舍弃），
∴BE′=5$\sqrt{3}$，
∴PB+$\frac{1}{2}$PC的最小值为5$\sqrt{3}$．
故答案为5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查解直角三角形、垂线段最短、直角三角形30度角性质、锐角三角函数等知识，解题的关键学会添加辅助线，把问题转化为垂线段最短，学会利用参数解决问题，所以中考常考题型．