Question

17．已知：抛物线y=x²+$\frac{1}{4}$m与直线y=x有两个不同的交点，两个交点的横坐标分别是a，b，则m的取值范围是m＜1，若n=ab-2b²+2b+1，则n的取值范围是n＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根据抛物线y=x²+$\frac{1}{4}$m与直线y=x有两个不同的交点，则方程x²+$\frac{1}{4}$m=x中的△＞0，解出可得m的取值；由根与系数的关系得：a+b=1，ab=$\frac{1}{4}$m，把n=ab-2b²+2b+1变形后，得：3m=4n-4，求出n的取值．

解答 解：x²+$\frac{1}{4}$m=x，
x²-x+$\frac{1}{4}$m=0，
△=（-1）²-4×1×$\frac{1}{4}$m=1-m＞0，
∴m＜1，
∵两个交点的横坐标分别是a，b，
∴a+b=1，ab=$\frac{1}{4}$m，
∴a=1-b，
∴n=ab-2b²+2b+1，
=b（a-2b）+2b+1，
=b（1-b-2b）+2b+1，
=b-3b²+2b+1，
=3b-3b²+1，
=-3b（b-1）+1，
=3ab+1，
=$\frac{3}{4}$m+1，
3m=4n-4
m=$\frac{4n-4}{3}$＜1，
∴n＜$\frac{7}{4}$，
故答案为：m＜1；n＜$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系、二次函数的性质．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．