Question

【题目】如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB=AC．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若BP=2，sin∠ACB，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AB．

【解析】

(1)连结OB，根据等腰三角形的性质、对顶角相等证明∠OBA=90°，根据切线的判定定理证明即可；
(2)作直径BD，连接PD，则∠BPD=90°，根据圆周角定理得出△PBD是直角三角形，进而求得，即为直角三角形求得直径BD，根据，得到，然后设，则，在中，根据勾股定理得到，解得x的值，即可求得AB的长．

(1)连结OB，如图1．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∵OA⊥l，

∴∠ACB+∠APC=90°．

∵OB=OP，

∴∠OBP=∠OPB．

∵∠OPB=∠APC，

∴∠OBP+∠ACB=90°，

∴∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

(2)作直径BD，连接PD，则∠BPD=90°，如图2．

∵AB是⊙O的切线，

∴∠ABC=∠D．

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠D=∠ABC=∠ACB．

∵sin∠ACB，

∴sin∠D，

∵BP=2，

∴BD=10，

∴OB=OP=5．

∵sin∠ACB，

∴，

设PA=，则PC=，

∴，

∴，

设PA=x，则AB=AC=2x，

在Rt△AOB中，AB=2x，OB=5，OA=5+x，

∴(2x)2+52=(5+x)2，

解得：x，

∴AB=2x．