Question

【题目】下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．

已知：线段AB．

求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．

作法：

（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；

（2）作直线PQ，交AB于点O；

（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；

（4）连接AC，BC．

则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：

（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：∵PA=PB，QA=QB，∴PQ垂直平分AB（ ）

在⊙O中，

∵AB为直径，∴∠ACB=90°（ ）

又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴AC=BC（ ），∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对圆周角是直角，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．

【解析】

(1)根据作法即可用直尺和圆规补全图形；

(2)根据作图过程即可完成证明．

(1)如图即为补全的图形；

(2)完成下面的证明：

证明：∵PA=PB，QA=QB，

∴PQ垂直平分AB(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)

在⊙O中，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90° (直径所对圆周角是直角)

又∵∠AOC=∠BOC=90°，

∴AC=BC(相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等)，

∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．

故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上、

直径所对圆周角是直角、相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．