Question

【题目】如图，ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点H，G为DH的中点．

（1）如图①，若M为AD的中点，AB⊥AC，AC＝9，CF＝8，CG＝2，求GM；

（2）如图②，M为线段AB上一点，连接MF，满足∠MCD＝∠BCG，∠MFB＝∠BAC．求证：MC＝2CG．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

（1）先根据平行四边形的性质和平行线的性质得出∠BAC＝∠ACD＝90，进而得出HD＝，然后根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出CD＝CF=8，然后由勾股定理求出CH的长度，从而求出AH的长度，最后利用三角形中位线的性质即可得出MG的长度；

（2）过点D作DN∥AC，交CG的延长线于点N，首先利用AAS证明△CGH≌△NGD得出GC＝GN，从而有CN＝2CG，然后通过平行四边形的性质和平行线的性质得出∠MFC＝∠NDC，∠FCM＝∠DCN，再加上CF＝CD利用ASA即可证△MFC≌△NDC，从而得出CM＝CN，即可证明CM＝2CG．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

,

∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝∠ACD＝90°，

∵G为DH的中点，

∴CG＝HG＝GD，

∵CG＝ ，

∴HD＝，

∵DF平分∠ADC，

∴∠DFC＝∠ADF＝∠CDF，

∴CF＝CD，

∵CF＝8，

∴CD＝8，

在Rt△HCD中，HC＝,

∵AC＝9，

∴AH＝5，

∵M为AD的中点，G为DH的中点，

∴MG＝AH＝ ；

（2）如图②，过点D作DN∥AC，交CG的延长线于点N，

∵DN∥AC，

∴∠N＝∠ACN，∠DAC＝∠ADN，

∵G为DH的中点，

∴DG＝HG，且∠N＝∠ACG，∠CGH＝∠DGN，

∴△CGH≌△NGD（AAS）

∴GC＝GN，

∴CN＝2CG，

∵∠MCD＝∠BCG，

∴∠FCM＝∠DCN，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝∠ADN，

∵∠MFB＝∠BAC，∠B＝∠B，且∠BMF＝180°﹣∠B﹣∠BFM，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC，

∴∠BMF＝∠ACB，

∴∠BMF＝∠ADN，

∴∠BMF+∠B＝∠ADN+∠ADC，

∴∠MFC＝∠NDC，且CF＝CD，∠FCM＝∠DCN，

∴△MFC≌△NDC（ASA）

∴CM＝CN，

∴CM＝2CG．