Question

【题目】如图，抛物线C1的图象与x轴交A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线C1的解析式；

（2）将抛物线C1关于直线x＝1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，点E为抛物线C3的顶点，在抛物线C2的对称轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在请求出点F的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，当点F为(3，﹣4+2)或(3，﹣4﹣2)或(3，4)或(3，﹣)时，使得△BEF为等腰三角形

【解析】

（1）将A、B、C三点代入一般式，即可求出解析式；

（2）由折叠的性质和旋转的性质可求抛物线C2解析式和抛物线C3解析式，可得点E坐标，由等腰三角形的性质可求点F坐标．

解：（1）设解析式y＝a（x﹣1）（x+3）

将C（0，3）代入得 a＝﹣1

∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵抛物线C1的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

∴抛物线C1的顶点为（﹣1，4）

∵将抛物线C1关于直线x＝1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，

∴抛物线C2解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+4，抛物线C3解析式为：y＝（x﹣3）2﹣4，

∵点E为抛物线C3的顶点，

∴点E（3，﹣4），

∴BE= ，

∵点F抛物线C2的对称轴上，

∴点F横坐标为3，

若BE＝EF＝2，则点F坐标为（3，﹣4+2）或（3，﹣4﹣2），

若BE＝BF时，则点F与点E关于x轴对称，

∴点F（3，4），

若BF＝EF时，则22+（4﹣EF）2＝BF2，

∴BF＝EF＝，

∴点F（3，﹣），

综上所述：当点F为（3，﹣4+2）或（3，﹣4﹣2）或（3，4）或（3，﹣）时，使得△BEF为等腰三角形