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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）反比例函数y=
    k
    x
    的图象的一个分支经过点C，并且另个分支与抛物线在第一象限相交．
    ①求出k的值；
    ②反比函数y=
    k
    x
    的图象是否经过点A和点B，试说明理由；
    ③若点P（a，b）是反比例函数y=
    k
    x
    在第三象限的图象上的一个动点，连接AB、PA、PB，请问是否存在这样的一点P使△PAB的面积为3？如果存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据待定系数法将A，B，C三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中，即可求得抛物线的解析式；
    （2）①根据C点的坐标即可求出反比例函数的解析式y=
    2
    x
    ；②由k的值等于2，若A，B两点的横纵坐标相乘等于2，则反比例函数就经过该点．③直接求△PAB的面积不容易，可以过P作PE∥x轴，作AD⊥PE于D，BE⊥PE于E，先求出四边形ABEP的面积，再减去△BPE的面积，即得△PAB的面积，令其等于3，即可求得满足条件的点P．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，2）、B（2，1）和
    C（-2，-1）三点
    ∴
    a+b+c=2
    4a+2b+c=1
    4a-2b+c=-1
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    解得：
    a=-
    1
    2
    b=
    1
    2
    c=2
    （2分）
    ∴抛物线的解析式为y=-
    1
    2
    x2+
    1
    2
    +2（3分）

    （2）①反比例函数y=
    k
    x
    的图象的一个分支经过点C（-2，-1）
    ∴k=（-2）×（-1）=2（5分）
    ②由①知k的值为2，所以反比例函数的解析式为y=
    2
    x
    ，
    ∵1×2=2=k，
    ∴点A（1，2）在反比例函数y=
    2
    x
    的图象上，
    同理点B（2，1）也在反比例函数y=
    2
    x
    的图象上，
    即反比函数y=
    k
    x
    的图象经过点A和点B，（8分）
    ③存在（9分）
    设点P的坐标为（a，b）
    因为点P（a，b）在y=
    2
    x
    上，
    所以点P的坐标为（a，
    2
    a
    ）
    作PE∥x轴，作AD⊥PE，BE⊥PE，垂足分别为D、E．
    则PD=-a+1，PE=-a+2，AD=-
    2
    a
    +2，BE=-
    2
    a
    +1（10分）
    ∴S△ADP=
    1
    2
    AD•PD=
    1
    2
    （-
    2
    a
    +2）（-a+1）=-a-
    1
    a
    +2
    ∴S梯形ABED=
    1
    2
    （AD+BE）•DE=
    3
    2
    -
    2
    a

    ∴S△BPE=
    1
    2
    PE•BE=-
    1
    2
    a-
    2
    a
    +2
    ∴S△PAB=S△ADP+S梯形ABED-S△BPE=-
    1
    2
    a-
    1
    a
    +
    3
    2
    （12分）
    若△PAB的面积为3则-
    1
    2
    a-
    1
    a
    +
    3
    2
    =3
    ∴a2+3a+2=0
    ∴a1=-1，a2=-2
    经检验a1=-1，a2=-2都是方程-
    1
    2
    a-
    1
    a
    +
    3
    2
    =3的解
    所以点P的坐标为（-1，-2）或（-2，-1）（13分）
    点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，同时在求解三角形的面积时，要灵活的运用割补法进行求解．
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    如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（-
    1
    2
    ，
    9
    8
    ），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
    （1）求a值；
    （2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
    （3）设A，B两点的横坐标分别记为xA，xB，若在x轴上有一动点Q（x，0），且xA≤x≤xB，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D精英家教网两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？

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    如图，抛物线y=-ax2+ax+6a交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点D，精英家教网O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1．
    （1）求A，B两点的坐标；
    （2）求证：四边形ABCD的等腰梯形；
    （3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

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    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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    已知：如图，抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C（0，-2），精英家教网与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
    （3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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