Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．

（1）求证：∠COD＝∠BAC；

（2）求⊙O的半径OC；

（3）求证：CF是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）由AG是⊙O的切线得到∠GAF＝90°，再由AG∥BC得出AE⊥BC，符合垂径定理，得出∠BAC＝2∠EAC，由圆周角定理得到∠COE＝2∠CAE，于是可证；

（2）由题意可得＝，设OE＝x，则OC＝3x，根据勾股定理列方程x2+32＝9x2，解出即可；

（3）由题意可证明，再证△COE∽△FOC，于是可得∠OCF＝∠DEC＝90°，故可证CF是⊙O的切线．

解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，

∴∠GAF＝90°，

∵AG∥BC，

∴AE⊥BC，

∴，

∴∠BAC＝2∠EAC，

∵∠COE＝2∠CAE，

∴∠COD＝∠BAC；

（2）∵∠COD＝∠BAC，

∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，

∴设OE＝x，OC＝3x，

∵BC＝6，

∴CE＝3，

∵CE⊥AD，

∴OE2+CE2＝OC2，

∴x2+32＝9x2，

∴x＝（负值舍去），

∴OC＝3x＝，

∴⊙O的半径OC为；

（3）∵DF＝2OD，

∴OF＝3OD＝3OC，

∴，

∵∠COE＝∠FOC，

∴△COE∽△FOC，

∴∠OCF＝∠DEC＝90°，

∴CF是⊙O的切线．