【题目】定义:方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程.
(1)已知x=2是x2+2x+c=0的倒方程的解,求c的值;
(2)若一元二次方程ax2﹣2x+c=0无解,求证:它的倒方程也一定无解;
(3)一元二次方程ax2﹣2x+c=0(a≠c)与它的倒方程只有一个公共解,它的倒方程只有一个解,求a和c的值.
【答案】(1)-;(2)见解析;(3)a=2或a=﹣2,c=0
【解析】
(1)先写出x2+2x+c=0的倒方程为cx2+2x+1=0,然后把x=2代入cx2+2x+1=0可求出c的值;
(2)根据判别式的意义,由方程ax2﹣2x+c=0无解得到ac>1,再写出一元二次方程ax2﹣2x+c=0的倒方程为cx2﹣2x+a=0,计算倒方程的判别式,从而得到结论;
(3)利用倒方程只有一个解可判断倒方程为一元一次方程,则c=0,解此方程得,把代入ax2﹣2x=0得,然后解关于a的方程即可.
(1)解:x2+2x+c=0的倒方程为cx2+2x+1=0,
把x=2代入cx2+2x+1=0得4c+4+1=0,解得c=-;
(2)证明:∵一元二次方程ax2﹣2x+c=0无解,
∴△=(﹣2)2﹣4ac<0,
∴ac>1,
一元二次方程ax2﹣2x+c=0的倒方程为cx2﹣2x+a=0,
∵△′=(﹣2)2﹣4ca=4﹣4ac,
而ac>1,
∴△′<0,
∴它的倒方程也一定无解;
(3)一元二次方程ax2﹣2x+c=0的倒方程为cx2﹣2x+a=0,
而倒方程只有一个解,
∴c=0,则﹣2x+a=0,解得,
把代入ax2﹣2x=0得,
而a≠c,
∴a=2或a=﹣2.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如表:
X | ﹣1 | 0 | 1 | 3 |
y | ﹣ | 3 | 3 |
下列结论:
(1)abc<0;
(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小;
(3)16a+4b+c<0;
(4)抛物线与坐标轴有两个交点;
(5)x=3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;
其中正确的个数为( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,直径AD交BC于点E,延长AD至点F,使DF=2OD,连接FC并延长交过点A的切线于点G,且满足AG∥BC,连接OC,若cos∠BAC=,BC=6.
(1)求证:∠COD=∠BAC;
(2)求⊙O的半径OC;
(3)求证:CF是⊙O的切线.
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【题目】如图,已知抛物线与轴交于、两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点(与点、不重合),过点作轴于点,交直线于点,连接、.设点的横坐标为,的面积为.求关于的函数解析式及自变量的取值范围,并求出的最大值;
(3)已知为抛物线对称轴上一动点,若是以为直角边的直角三角形,请直接写出点的坐标.
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【题目】如图,直线l的解析式为y=x,反比例函数y=(x>0)的图象与l交于点N,且点N的横坐标为6.
(1)求k的值;
(2)点A、点B分别是直线l、x轴上的两点,且OA=OB=10,线段AB与反比例函数图象交于点M,连接OM,求△BOM的面积.
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【题目】自行车因其便捷环保深受人们喜爱,成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图,图2是它的简化示意图.经测量,车轮的直径为,中轴轴心到地面的距离为,后轮中心与中轴轴心连线与车架中立管所成夹角,后轮切地面于点.为了使得车座到地面的距离为,应当将车架中立管的长设置为_____________.
(参考数据:
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0)和B(m,0),且3<m<4,则下列说法:①b<0;②a+c=b;③b2>4ac;④2b>3c;⑤=1,正确的是( )
A.①②④B.①③⑤C.②③④D.②③⑤
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【题目】已知:如图,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E,AD=DC,DC2=DEDB,求证:
(1)△BCE∽△ADE;
(2)ABBC=BDBE.
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